Thực đơn
Tích phân từng phần Sự hình dungXem xét đường cong tham số bởi (x, y) = (f(t), g(t)). Giả sử rằng đường cong là đơn ánh cục bộ và khả tích cục bộ, ta định nghĩa
x ( y ) = f ( g − 1 ( y ) ) {\displaystyle x(y)=f(g^{-1}(y))} y ( x ) = g ( f − 1 ( x ) ) {\displaystyle y(x)=g(f^{-1}(x))}Diện tích vùng màu xanh là
A 1 = ∫ y 1 y 2 x ( y ) d y {\displaystyle A_{1}=\int _{y_{1}}^{y_{2}}x(y)dy}Tương tự như vậy, diện tích của vùng màu đỏ là
A 2 = ∫ x 1 x 2 y ( x ) d x {\displaystyle A_{2}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}y(x)dx}Tổng diện tích A1 + A2 bằng diện tích của hình chữ nhật lớn hơn, x2y2, trừ đi diện tích của hình chữ nhật nhỏ hơn, x1y1:
∫ y 1 y 2 x ( y ) d y ⏞ A 1 + ∫ x 1 x 2 y ( x ) d x ⏞ A 2 = x . y ( x ) | x 1 x 2 = y . x ( y ) | y 1 y 2 {\displaystyle \overbrace {\int _{y_{1}}^{y_{2}}x(y)dy} ^{A_{1}}+\overbrace {\int _{x_{1}}^{x_{2}}y(x)dx} ^{A_{2}}={\biggl .}x.y(x){\biggl |}_{x1}^{x2}={\biggl .}y.x(y){\biggl |}_{y1}^{y2}}Hoặc theo tham số t
∫ t 1 t 2 x ( t ) d y ( t ) + ∫ t 1 t 2 y ( t ) d x ( t ) = x ( t ) y ( t ) | t 1 t 2 {\displaystyle {\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}x(t)dy(t)+\int _{t_{1}}^{t_{2}}y(t)dx(t)={\biggl .}x(t)y(t){\biggl |}_{t_{1}}^{t_{2}}}}
Hoặc biễu diễn theo nguyên hàm:
∫ x d y + ∫ y d x = x y {\displaystyle \int xdy+\int ydx=xy}Chỉnh lại:
∫ x d y = x y − ∫ y d x {\displaystyle \int xdy=xy-\int ydx}Từ đó tích phân từng phần có thể coi là diện tích của vùng màu xanh trong tổng diện tích và diện tích của vùng đỏ.
Sự hình dung này cũng lý giải việc tích phân từng phần có thể tính tích phân của hàm nghịch đảo f−1(x) khi đã biết tích phân của f(x). Thật vậy, nếu hàm x(y) và y(x) là nghịch đảo của nhau thì có thể tìm tích phân ∫x dy khi đã biết tích phân ∫y dx. Cụ thể, điều này giải thích việc kết hợp sử dụng tích phân từng phần với hàm logarithm và hàm lượng giác nghịch đảo.
Thực đơn
Tích phân từng phần Sự hình dungLiên quan
Tích Tích phân Tích (toán học) Tích phân từng phần Tích hợp liên tục Tích phân bội Tích Giang Tích vô hướng Tích vectơ Tích Lan thuộc AnhTài liệu tham khảo
WikiPedia: Tích phân từng phần http://mathworld.wolfram.com/IntegrationbyParts.ht... http://www.math.utexas.edu/users/arbogast/appMath0... //dx.doi.org/10.2307%2F2686368 http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=... //www.jstor.org/stable/2686368 https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Integ...